Štúdium konvergencie diskrétnej duálnej schémy konečných objemov pre Hestonov model [vedanadosah.sk]

Matematické modely riešené v rámci projektu RNDr. Ing. Matúša Tibenského sú motivované finančnou matematikou a sú zovšeobecnením Black-Scholesovho modelu na oceňovanie finančných derivátov. Projekt nesie názov Štúdium konvergencie diskrétnej duálnej schémy konečných objemov pre Hestonov model.
„Pôvodný Black-Scholesov model sa stal rýchlo populárnym, pretože jeho finálna formulácia predpokladá, že hľadaná funkcia závisí iba od niekoľkých parametrov, no nie od volatility podkladového aktíva. Vďaka jednoduchosti pôvodného modelu je pomerne jednoduché a priamočiare otestovať jeho presnosť, keďže študovaná rovnica je lineárna. Neskoršie otrasy na finančnom trhu (tzv. Black Monday z roku 1987, prasknutie dot.com bubliny na začiatku tisícročia či finančná kríza z roku 2008) si vynútili potrebu pôvodný lineárny model zovšeobecniť do komplexnejšieho nelineárneho tvaru,“ vysvetlil autor projektu.
Jedným z najpopulárnejších a v praxi najpoužívanejších zovšeobecnení je takzvaný Hestonov model (1993), ktorého riešeniu sa venuje navrhovaný projekt. „Krachy na finančných trhoch spomenuté vyššie ukázali komplexnosť a citlivosť problémov oceňovania finančných derivátov. Nástroje na báze parciálnych diferenciálnych rovníc používané pri tejto problematike spôsobili viac škody ako úžitku, keďže boli používané nevhodne, či už nevedome alebo zámerne. Keďže objemy transakcií na finančných trhoch sa zvyšujú extrémne rýchlo a komplexnosť finančných inštrumentov narastá, je potrebné priniesť rýchle, robustné a presné metódy na oceňovanie finančných derivátov, čo je cieľ riešeného projektu,“ konštatuje RNDr. Ing. Matúš Tibenský.
Hestonov model je okrem praktickej stránky zaujímavý aj z matematickej perspektívy, pretože je prezentovaný dvojdimenzionálnou parabolickou rovnicou s tenzorovou difúziou, pričom na časti hranice je tenzor degenerovaný. Tu je splnená takzvaná Ficherova podmienka. Pre tento model bola skonštruovaná numerická schéma na princípe konečných objemov – Kútik, Mikula (2015). V tomto článku bola dokázaná aj existencia a jednoznačnosť numerického riešenia problému.
Ako uvádza RNDr. Ing. Matúš Tibenský, v článku – Handlovičová (2016) je prezentovaná numerická schéma na základe duálnej metódy konečných objemov a tiež sú tu uvedené numerické experimenty a stabilitné odhady na numerické riešenie. „Otvoreným problémom ostáva overenie efektívnosti schémy na základe duálnej metódy konečných objemov a tiež dôkaz konvergencie schémy k numerickému riešeniu. Riešením týchto problémov sa bude zaoberať navrhovaný projekt. Princípom numerického riešenia nelineárnych problémov matematického modelovania je diskretizácia priestorovočasovej oblasti. V konkrétne zvolených časových bodoch je aproximácia závislá od použitej metódy. V prípade metódy konečných objemov (MKO) je neznáma funkcia nahradená po častiach konštantnou funkciou.“
MKO je podľa odborníka často používaná v prípade modelovania problémov zákonov zachovania. Bežnou aplikáciou sú aj problémy oblasti spracovania obrazu.
„Nie úplne bežnou, no zaujímavou a využívanou aplikáciou MKO je modelovanie oceňovania finančných derivátov, ktorej riešeniu sa venuje navrhovaný projekt. Z pohľadu teoretického prínosu práce je najdôležitejší dôkaz konvergencie duálnej numerickej schémy metódy konečných objemov (DDFV). Toto je otvorený problém navrhnutý v článku Handlovičová (2016). Praktickým prínosom sú numerické experimenty potvrdzujúce robustnosť a efektívnosť navrhnutej schémy a jej porovnanie s existujúcimi modelmi a schémami,“ hovorí RNDr. Ing. Matúš Tibenský.
Tieto výsledky budú prezentované na domácich a zahraničných konferenciách a publikované vo vedeckých časopisoch a zborníkoch.
Projekt Štúdium konvergencie diskrétnej duálnej schémy konečných objemov pre Hestonov model patrí medzi projekty, ktorým bol udelený grant Slovenskej technickej univerzity v Bratislave (STU).
*********************************************
Rektor STU Robert Redhammer udeľoval granty mladým vedcom už po 9. raz. Každý z podporených mladých vedcov získal príspevok vo výške tisíc eur. Odovzdávanie grantov sa uskutočnilo v Aule D. Ilkoviča začiatkom mája 2018. Granty si prevzali mladí vedci zo všetkých fakúlt Slovenskej technickej univerzity v Bratislave, najsilnejšie zastúpenie má Stavebná fakulta (SvF) či Fakulta chemickej a potravinárskej technológie (FCHPT).
Rektor STU Robert Redhammer vysvetlil, že univerzitný grantový program pre mladých je „školou“ písania úspešných projektov a vyzýva riešiteľov, aby sa postupne uchádzali o národné a medzinárodné granty a nadväzovali kontakty s výskumnými kolektívmi v zahraničí. Na tento grantový program nadväzuje na STU ďalší pre skúsenejších vedcov – Grantový program na podporu excelentných tímov mladých výskumníkov. STU finančne odmeňuje aj najlepšie vedecké publikácie a aj tímy, ktoré sa zapájajú do medzinárodných konzorcií a uchádzajú sa o medzinárodné granty.
Odborný garant textu: RNDr. Ing. Matúš Tibenský, KMDG Stavebnej fakulty Slovenskej technickej univerzity v Bratislave
Spracovala: Slávka Cigáňová (Habrmanová), NCP VaT pri CVTI SR

[vedanadosah.sk 16/08/2018]
Link: http://vedanadosah.cvtisr.sk/studium-konvergencie-diskretnej-dualnej-schemy-konecnych-objemov-pre-hestonov-model